人类知道，世界的基准并不是人类尺度，但他们却希望是。——安德烈.马尔罗

 

如果说前一篇《小学生都能读懂的维度》中所讲的“维度”是打开宇宙之谜的钥匙，那么“尺度”则是认识这个世界的基准和立场。尺度不对，认识世界就不免会存在“屁股歪了”的问题。

 

什么叫“尺度”？ 通俗地说，尺度就是度量事物的准绳。维度和尺度，是两个相辅相成的概念。放在一个坐标系统中，维度就是坐标系统的坐标轴，尺度则是坐标轴的单位。维度是分类的基础，尺度则决定了看待事物的层次。如果说维度对于大家还比较抽象，那么尺度则无时不刻都相伴大家左右。

 

从距离和长度说起

 

最近孩子在学“千米”这一单位，数学老师要求孩子们回家用散步来感知一千米的距离，这值得推崇。如何度量长度，这就涉及到尺度。某个人说他今天走了5.1千米或5100米，你不会觉得有什么问题，但如果他告诉你今天走了510000厘米或5100000毫米，那你一定会用异样的眼光上下打量他一番，看看他是不是哪里出问题了。

 

孩子上学期学了个单位：光年。没错，光年是个距离而不是时间单位，表示光一年中所走的距离。1光年有多远？孩子常常会好奇这个问题。我们可以大致算出1光年≈ 300000×3600×24×365 = 9460800000000千米。但这串数字代表的距离到底有多远，实际上已经超出了普通人能感知的尺度了。

 

如果你去量一只蚂蚁的长度，并且告诉别人蚂蚁长0.000003千米，那也一定会让人一团雾水。而如果你说是3毫米，或0.3厘米，那么大家立刻就能有直观感受。如果你想玩的更另类一点，你可以说一只蚂蚁的长度是0.0000000000000000003光年，那别人一定会以为你是个疯子。

 

为了理解1光年到底有多远，我们可以做一些简单的算术。光一秒钟能走30万千米，地球的直径大约为1.3万千米（周长约是4万千米），所以光一秒钟大概可以绕地球7圈半。太阳光从太阳传到我们这里大概需要8分钟（480秒），因此太阳和地球之间的距离大概可以放下480*300000/13000≈11000个地球。也就是说把11000个地球一字排开放一起，基本可以填满地球和太阳间的空隙。假如我们乘坐现在的每小时1000千米的飞机，那么从地球飞到太阳需要大约150000小时，大约是17年。网上有一个用于演示太阳系真实比例的页面，叫做“如果月球是一个像素"【1】，你会发现现实中我们看到的太阳系模型都过度扭曲了原始的尺度。

 

在天文物理中，专门把太阳到地球的距离称作一个天文单位。1光年大致相当于24×60×365/8=65700个太阳到地球的距离。我承认，我已经感觉到自己比一粒砂子还要渺小了。慢着，我们所在的银河系的尺度在10万光年左右，按照目前的认知，整个宇宙的尺度在460亿光年，这些更远远超出了人类能感知的范畴。

 

从宏观走向我们肉眼观测不到的微观，它的尺度也是我们难以感知的。一个细胞的尺度大约是10μm(0.00001米)，但正是这么微小的细胞，经过快速分裂后成为了我们的每一个个体。细胞内部的原子更小，直径大概是100pm (1pm = 0.000000000001米)，而一个电子的直径则更是小的多。豆瓣上有一篇文章《从10亿光年的宇宙到0.1皮米的原子核，你无法想象的图片！》，看了很震撼，有兴趣的可以看一下。最让人感到不可思议的是，在极度宏观的尺度和极度微观的尺度，我们看到的竟然是几乎无差别的图案。

数量与尺度

 

晚饭时间和孩子探讨尺度的问题。我们人类感知了宇宙的浩渺之后，觉得自己微不足道。如果大象肚子里的某个细菌也具有智慧的话，那大象的肚子之于这个细菌就和宇宙之于我们人类一样浩大。再进一步，如果存在宇宙之外的尺度，那我们人类何尝不是宇宙里的一堆细菌呢？ 

 

要知道，人体内每个细胞都包含着比整个银河系里的恒星还多的原子。理查德·道金斯做过一个令人遐思的论断：你喝下的每一杯水里可能都有至少一个原子曾在亚里士多德的膀胱里逗留。这个结果看似出乎意料，但却相当贴合实际，因为一杯水里的分子数量远大于所有海洋能装满的水杯数量。

 

小孩子经常会说无穷大、超级多，并自己感觉是个很牛的东西。可到底多大才算的上超级大呢？美国数学家爱德华的侄子米尔顿创造出了古戈尔(googol)这个词，一个古戈尔等于1后面加100个0。这个数到底有多大？宇宙中现有的所有粒子总和还不到10^90次方，也就是1后面加90个0，离古戈尔还差十万八千里。随后，急于突破极限的米尔顿又提出了googolplex。起初小孩子希望把这个数定义为：写零写到手酸“， 但后来他决定将之标准化，定义为：”1后面古戈尔个零“。看到这个，我不禁惊叹于这个9岁孩子的数学创造力。这个数字，何止是写零写到手酸啊......

 

时间尺度

 

关于时间，也是很有意思的东西。人的一生大概100年不到的样子，因此每过10年都会搞个大的生日派对，所以，我们有“二十弱冠，三十而立，四十不惑，五十知天命”的说法。但如果放到智能进化的尺度，那么10年或100年就太短暂了。我们现在甚至不敢说当今的人脑一定比1000年之前的人脑更聪明。我们至少要以1万年作为尺度来度量人脑的进化。而如果要显著感知地球的生命演变或地质变化，我们的尺度可能需要拉大到100万年。从这个意义上讲，我们人的一生，甚至连地球生命演化过程中的昙花一现都算不上。

 

刘慈欣的《朝闻道》中有一段话，大概是说：宇宙中的排险者在37万年前，当有10个原始人仰望星空的时间超过了预警的阈值并对宇宙表现出充分好奇的时候，就注意到了人类。

 

地球人不理解地问：不是说，只有当有能力产生创世能级能量过程的文明出现时，预警系统才会报警吗？

 

排险者的回答是：当生命意识到宇宙奥秘的存在时，距它最终解开这个奥秘就只有一步之遥了。比如地球生命，用了四十多亿年时间才第一次意识到宇宙奥秘的存在，但那一时刻距你们建成爱因斯坦赤道只有不到四十万年时间，而这一进程最关键的加速期只有不到五百年时间。如果说那个原始人对宇宙的几分钟凝视是看到了一颗宝石，之后你们所谓的整个人类文明，不过是弯腰去拾它罢了。

 

这段描述本意是想说明对宇宙的好奇会加速宇宙之谜的解开，但它同时也很好地诠释了时间的尺度。

 

反观我们厌恶的蚊子，生命周期只有1-2周。所以，对它们来说，每一分钟都显得弥足珍贵，不得不抓紧一切时机吸血繁殖后代。

 

人类尺度 vs 宇宙尺度

 

很长时间内，人类总是以为自己视野的极限即是世界的极限。随着对世界认知的逐步深入，人类知道，大自然的基准并不是人类尺度，但我们却仍然希望是。

 

事实上，相比于宇宙的尺度，人类能够感知的尺度实在是微不足道。有一本书叫《宇宙的尺度》值得一读。除了之前讲的数字、尺寸和时间，这本书还用非凡的趣味和洞察力，引领我们重新审视了我们周围的另外几种谱系：光、声和温度。

 

光波充斥着整个宇宙，波长从10^(-16)米到10^8米，而可见光的波长（也就是红橙黄绿青蓝紫）的范围大约只在400~760纳米之间，绝大部分的光波：伽马射线、X射线、紫外线、红外线、微波、无线电波、长波，都超出了人类的感知范围。

 

许多小学生都熟悉蝙蝠在黑夜定位的原理，知道蝙蝠有超越人类的能力。人类能听到的声音频率范围是很有限的，大概在20Hz到20kHz之间。高于20kHz的，我们通常称为超声波，而低于20Hz的，则称为次声波。猫能听到超过40kHz的声音，原因可能在于小老鼠的叫声可以轻松达到40kHz。蝙蝠叫声甚至能达到100kHz。医用的超声波则在1~20MHz之间。海洋动物比如座头鲸和蓝鲸会用10~30Hz的低频大声吟唱，这种低频音在海水里能传到几百千米以外。

 

 

听说，儿童能够轻松听到20kHz的声波，但这种能力会随着年龄的增长逐渐消失。人到中年以后，基本只听到15kHz或16kHz以下的声音了。市场营销人员利用了这种区别，威尔士的一家安保公司用设备发出17kHz的嗡嗡声，以此赶走在店门外闲晃的青少年。当然，很快有人找到了反向的应用，他们把手机铃声设置成高频音，于是孩子能听见手机在响，成年人（例如老师或家长）却听不见。PS: 但愿孩子们还不知道这种设备的存在...

 

再来说说温度，有一天孩子问，零下50度有多冷。我也没有感受过，去年南京最冷的天，气温达到了零下12度，而哈尔滨冬天的气温大概是零下30度左右。绝对零度，-273.16度，是个什么样的温度？肯定超过了人类的感知尺度，冥王星地表的温度就低至-223度。说完冷的，再来说热的。夏天吐鲁番45度的气温已经让我热的喘不过气来，100度的沸水足以把人烫残废。但殊不知，木柴燃烧的火焰可以达到900度，地球岩浆的温度能达到1100度，灯泡里的灯丝可以到2500度。太阳表面的温度在5500度，地核的温度为6600度，闪电的温度高达28000度，日核温度高达1500万度，热核武器的温度最高能达几亿度。

 

 

所以，我们应该以自然现象本身内在的时间和空间尺度去认识它，而不是把人为规定的时空尺度框架强加于自然界。

 

分形

 

说到尺度，在数学上不得不说一下分形。上面看到的宇宙宏观尺度和微观尺度相似的图像已经有些分形的味道了。

 

英国数学家理查森发现不同版本的百科全书对英国海岸线的长度说法不一，出入最多达到20%。显然，通常的测量是不可能产生这么大误差的，那这20%的差距是如何产生的呢？

 

美籍法国数学家和计算机专家蒙德尔布罗对英国海岸线长度问题的回答是：无论测量的多么仔细认真，都不可能得到英国海岸线的准确长度，因为根本就不会有准确的答案。英国的海岸线长度是不确定的！

 

当你用一把固定长度的直尺（没有刻度）来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似，因此，测得的长度是不精确的。如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现细小的曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。

 

慢着，之前在文章《圆周率的那点事》所讲的割圆术不是说把多边形近似圆，也就是用直线替代曲线，最后能逼近圆的周长吗？而圆周长是一个有限的固定值，不是无限啊！其中的不同在于，海岸线在不同的尺度上呈现着自相似的结构，而圆则不是。欧式几何中的线条是光滑的，而分形的物体则不是。例如雪花，不断地放大，它的边界会逐步变细变毛，这样，导致它的周长越来越长，几至无限，而面积却是有限的。

 

又如下面这个三角形图案，用不同倍率的放大镜在不同尺度观察，看上去都是一样的……

【1】