我思故我在

　　——笛卡尔

　　希望大家动动手转发本文，让导演辛爽可以看到本文，并给出确定的答复，而不是让观众去选择。数学，拒绝模棱两可。

1. 隐秘的错误心形线

　　根据紫金陈的原著小说《坏小孩》改编的网络剧《隐秘的角落》最近在爱奇艺热播，并获得了相当高的评分。伴随着笛卡尔和克里斯蒂娜的爱情故事，“现实和童话”的选择始终贯穿于整个电视剧。表象之下，你愿意相信美丽的童话，还是冰冷的现实？

　　剧中，张东升是一位颇有水平的奥数老师，朱朝阳是一位极具天赋的奥数学生，两人在图书馆第一次偶遇的时候就空口探讨起了奥数题的解答。张东升提起笛卡尔的故事是在少年宫第一次见到朱朝阳的时候。张东升指着黑板右上角的函数图，写下了r＝a(1-sinθ)的方程。但不幸的是，这张心形图画错了！

　　在解释为什么这张心形图画错了之前，我们先来看看《隐秘的角落》中所说的笛卡尔爱情故事的两个版本。

　　第一个是童话版本。18岁的瑞典公主克里斯蒂娜因为喜欢数学而爱上了52岁的笛卡尔。国王坚决反对他们交往，因此下令流放了笛卡尔。笛卡尔最后死在了狱中，死前最后写给公主的情书中出现了数学极坐标方程：r＝a(1-sinθ)。聪明的公主解出了这个方程所代表的心形图案，也就是著名的“心形线”，知道笛卡尔一直深爱着自己。最后，公主一生未嫁。

　　另一个版本是公主背叛了笛卡尔，她根本不爱笛卡尔，一切都是笛卡尔的一厢情愿而已，最终笛卡尔在狱中绝望死去。

　　很明显，笛卡尔的故事是在暗示《隐秘的角落》这部电视剧的故事结局有两个版本，一明一暗，关键在于你更愿意相信哪一个。

　　网上有很多评论说《隐秘的角落》这部电视剧靠细节取胜，一个个细节构成了一个个“隐秘的角落”。那么，上面这张包含错误心形线的剧照到底是由于专业疏忽所致，还是导演刻意而为之的另一个“隐秘角落”？难道导演是故意让张东升画下了这一错误的心形线，以暗喻张东升的爱情从一开始就是错误的？希望导演辛爽能给出肯定的回答，而不是让观众去选择。

2. 心形线错在哪？

　　下面来回答一下为什么这张心形线图案是错误的。r＝a(1-sinθ)是一个极坐标方程，它所表示的形状确实是心形线，但和张东升黑板上画的并非同一个图形。区别在于下面两点：

　　坐标原点不对。显然，极坐标方程r＝a(1-sinθ)中，当θ=90°时，r=0。但张东升画的这个图形显然不满足这一点。至少，应该把X轴向上平移到心形与Y轴的交点处。

　　心形的形状不对。即便坐标轴平移后满足θ=90°时，r=0，心形线的底部应更接近于圆形，而不是图中所画的尖尖的图形。

　　实际上，r＝a(1-sinθ)对应的心形线图形应该如下图所示（这里取a=1）。

　　除了竖着的心形线，还有水平的心形线，即：r＝a(1-cosθ)。当a=1时，其图形如下所示。

　　大家可以看到，这两个心形线的形状和张东升所画的图形有着很大的区别。

3. 心形线与美国高考题

　　前几天我在公众号发过一个30万人只有3人答对的美国大学入学测试题：

　　如下图，小圆的半径是大圆的1/3，大圆不动，小圆绕大圆滚一圈，请问小圆自己转了几圈？

　　稍微学过点概率的人就应该知道这里面有坑，否则具有5个选项的选择题不太可能出现30万人只有3人答对的结果。究其原因，是因为正确答案是4圈，选项中没有！

　　这个问题其实跟心形线有密切的关系。如果两个圆的半径相同，一个圆固定，另一个圆绕着其滚动一圈，则圆上某个点的运动轨迹就是心形线，如下图所示。

　　为什么会是这样，我们可以给出如下证明。

　　假设动圆绕着固定的圆从P点逆时针滚动到如图的位置。则两者经过的弧长PM和MQ相等。连接两个圆的圆心O1O2, 设两圆的切点为M，假设∠PO1M=θ，则∠QO2M=θ。显见，四边形PO1O2M是等腰梯形。分别从P, Q向O1O2做垂线，设垂足分别为E, F。则PQ=EF=2-2cosθ=2(1-cosθ)。如果以P点作为原点，那么Q点的轨迹就满足心形线的极坐标方程：r=2(1-cosθ)。

　　所以，这张剧照的真相是什么？辛导演欠大家一个解释！