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小学生也能读懂的“维度”

我们要仰望星辰,而不是始终盯着自己的脚!

——霍金

序言

2018年的3月14日,现代最有名的理论物理学家霍金辞世。我们不知道的是,对于一个参透了宇宙奥妙的物理学家而言,死亡意味着什么。或许,他只是去了另一个维度的空间?

前段时间,我和昍都痴迷于刘慈欣的《三体》。书中多处出现了不同维度的空间。三体人在研究智子过程中所做的多维展开实验,蓝色空间号的船员从翘曲点进入四维空间。最让我感到脊背阵阵发凉的,是太阳系被毁灭所遭受的降维打击:宇宙中的低熵体歌者,边唱歌边拿起了一片二向箔,随手掷向了太阳系,把后者从三维压扁成了一张巨型的二维相片。

且不论这些科幻场景的真实性如何,它真真切切地引发了我们对于维度的思考。维度是什么?当三年级的昍一开始把这个问题抛给我的时候,我真的不知道该如何答复。

从数学的角度,维度就是维数,维度之间相互正交。迪尔卡的坐标系理论可以适用于任意多的维数。但对我们生活的物理世界,维度是一个有趣而又深奥的概念。

维度与房子

最常用的给小孩子解释空间维度的方法是:

  • 一只在线上行走的蚂蚁只能前后移动,所以,我们把直线或曲线叫做一维空间;

  • 一只扁虫可以在平面上前后左右移动,所以,我们把平面或曲面叫做二维空间;

  • 一只鸟可以在我们的空间上下前后左右移动,所以,我们的空间是三维空间。

但这,仅仅是维度的冰山一角。我跟昍探讨维度的时候用了一个例子:不同维度空间的人和房子。

三维空间的房子,有面积,有楼层。一个人生活在房子里,关上门窗,外面的人就进不来,房子就是你的私人空间。

二维空间的房子长什么样呢? 没错,就是一个封闭的图形,比如一个五边形。二维空间的人也是一个平面图形。你可以在这个封闭的房子上开一个口作为门或窗。一个生活在二维空间的人,躲在这个房子里,外面的人就无法看到你,只能看到这个房子(也就是图形)的轮廓——一条线。

再退一步,一维空间的房子呢?或许你已经想到了,就是一条线段。一维空间的人同样也是一个点或一条线段。在一维空间里,你躲在线段里就彻底安全了。线段的两个端点保证你屋子外面的人窥探不到你。他们在外面能看到的这个房子,只是一个点。

 

所以,看谁家的房子更豪。在三维空间,我们要比房子的占地面积和楼层数,在二维空间比的则是圈地面积,而到了一维空间,就只剩比长度了。

平面国

英国著名神学家和小说家埃德温·艾勃特(1838—1926)写了一本科幻小说《平面国》,书中开头的几段话,很好地诠释了二维和三维的区别。

设想有一张巨大的纸。在上面满是直线、三角形、正方形、五边形、六边形及其他各种图形。这些图形并不在某处停留不动,而是在平面周围、平面上或里面自由移动,但无力跳出这个平面,也无法沉下去。就像影子,那些实在并且带着亮边的影子。这样,你就会对我的国家和人民有一个非常正确的印象。嘿!要是几年前,我会说“我们的宇宙”,但是现在我的思维得以拓展,对事物有了更深的认识。

在这样的国家,你会立刻认识到不可能存在任何你称为“立方体”的东西。但我敢说,你会认为我们至少凭视觉能区分这些图形——我说过的不停地移动的三角形、正方形及其他图形。相反,我们什么也看不到,更不用说把图形相互区分开来。对我们来说,除了直线,没有什么可见的事物。下面,我将迅速地展示为什么会这样。

    把一个便士放在你们空间国的一张桌子中央,然后贴身上去盯着看。不久,会出现一个圆。现在,回到桌边,并逐渐放低你的目光(这样可以让你更加接近平面国居民的生活状态),你会发现这个便士在你视线里会越来越变成椭圆形;最后,当你的目光与桌边恰好处于同一平面时(这时,你仿佛真地成为一个平面国人),这个便士看起来不再像个椭圆了,你看见的是一条直线。

维度穿越

高维空间对低维空间具有决定性的优势。电影《星际穿越》的最后,处于高维空间的男主通过维度空间的敲击向低维空间的小女儿秒传了信息,拯救了地球。

想象一下一个在二维空间里躲在房子里的二维人。假设房子的墙壁坚不可摧(二维空间里就是让五边形的边变得更粗),那这个二维人在晚上可以踏实睡觉。但是,突然有个二维小偷获得了穿越到三维空间的能力。此时,这个二维人的房子就形同虚设了。小偷可以轻而易举地通过三维空间进入房间取走想要的东西,而不留下任何痕迹。

同样,对于生活在一维空间的人,你永远也无法超越前面的人。而如果突然有了二维空间的进入能力,那么很轻易地就可以从旁边的二维空间弯道超越前面的人。

回到我们生活的三维空间。用钢筋混凝土建好房子,装好层层防盗门防盗窗,我们自以为可以高枕无忧了。但这些对于一个拥有四维空间穿越能力的人就显得形同虚设,因为他可以从另一个维度轻而易举地进出房子而不被察觉。

远在天涯,近在咫尺

远在天涯?那只是你的维度不够。维度可以重新定义距离,让远在天涯变成近在咫尺!

两个在一维空间中的人只能沿一维的直线或曲线移动,因此两个人之间的距离就是线拉直后的长度。但如果在二维空间中来看,这两个人的距离就不一定是线的长度。如果我们把这根线在二维空间中加以折叠,那么虽然线头和线尾的两个人在一维空间里远在天涯,但在二维空间里却可以离的很近。

同样,如果将二维空间折叠或弯曲,那么二维空间里的远在天涯在三维空间就可能变成近在咫尺。一个很好的例子是地球。地球的表面可以看成是一个二维球面。从上海到纽约,需要绕着地球的表面行走。但如果我们可以直接从地心穿越过去(也就是三维空间),那距离就减少许多。

再来想象一下三维空间。从地球到10万光年以外的星球,对目前的人类是无法逾越的。但如果能把三维空间折叠或弯曲呢?那么在三维空间中看似无法跨越的距离,就可以通过四维空间实现穿越。

再进一步,如果空间可以被拉伸呢?比如,一根由橡皮筋构成的一维空间,一张有弹性的膜形成的二维空间。橡皮筋可以处于自然状态和拉伸状态。一个一维空间的人怎么知道他的空间是自然的还是被拉伸的?如果一维空间是被拉伸的,那么回到自然状态时两个点之间的距离会缩短,反之则会增加。同样,三维空间也可能会存在自然、被挤压和被拉伸的状态,我们认为自己生活的三维空间是自然状态,但如果是被挤压或被拉伸的状态呢?当我们的三维空间状态发生变化时,距离是不是也要随之发生变化呢?不行了,我已经不能再想下去了...

牛顿发现了万有引力,认为作用力是一种两个遥距物体的即时交互作用,一个物体可以即时影响间隔一段距离的其他物体的运动。但这种超距作用怎么发生的,中学时上经典物理课的时候,没有人对此提出质疑。

黎曼,一个天才数学家,推翻了牛顿的超距作用原则,他认为作用力源自于几何学,作用力只是由于几何结构扭曲所造成的必然现象。黎曼以多维空间理论简化了所有自然作用力,认为电力与磁力和重力一样,只是高维度空间弯曲产生的结果,为爱因斯坦等物理学家的发现奠定了理论基础。

维度与大一统?

从爱因斯坦开始,过去的100年,物理学家们孜孜不倦地寻找能够统合所有作用力的“万有理论”。后来发现,在低维度无法统一的力学,在高维可以有完美的统一描述。

维度,真的是一个既简单又高深莫测的概念。

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