最近，给小朋友们做了一道我认为很有意思的题。题目是这样的：

（1）请把十进制数71表示成三进制数

（2）在1~2019这2019个数十进制数中，把每个数都表示成三进制数时，请问一共有多少个数的三进制数表示的最后三位数字与71的三进制数表示的最后三位数字相同？

这个题虽然不太难，但解法却能反映出我们有没有对进制理解透彻。是仍然停留在十进制思维，还是已经把十进制仅仅作为N进制的一种，达到对进制驾轻就熟的水平了？

第一问：71=2×3³+1×3²+2×3¹+2， 表示成3进制数为2122，问题不大。我们经常教的是重复地除3取余数，然后将余数倒过来写就行。但更应该搞清楚这里面的原因，实际上就在于上面的表达式。

第二问：

解法1（十进制思维）：

后三位数为122，最小的数即为122=17，第二个数为1122，即为17+27=34，第三个数为2122，即为17+27+27=71

所以从17开始，每隔27会有一个最后三位相同的数，共有（2019-17）÷27+1=75个。

这种做法是很容易被接受的一种，把不太熟悉的三进制数都转化为我们熟悉的十进制来求解。这也是我们解决问题的一种常用手法，即将不熟悉的未知问题划归转化为熟悉的已知问题予以解决。

解法2（三进制思维）：

如果换个问题，比如十进制数1~58231里有多少个末三位为123的数？那可以这样：

     123

  1 123

  2 123

  ......

  9 123

10 123

   ......

58 123

不管末三位，只需要看前面有多少个数，即从0~58，共有59个数。

三进制数也一样，2019的三进制数表示为2202210， 去掉末三位数为2202。

  所以1-2019末三位为122的数的三进制表示从小到大为：

122，1122，2122， 10122， 11122， 12122， 20122， …，2202122

不管末三位，总共有（2202）₃+1=74+1=75个数。