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本文成文于2017年3月24日。
一早起床,惊闻国足奇迹般战胜了韩国。在因萨德事件全民抵制韩国的今天,国足的这一胜利可谓及时雨,振奋人心!看到网友的一句经典评论:韩国,你连足球都踢不过国足了,拿什么来对抗中国?两个字:解气!
 
当然,虽说国足胜了,但积分榜仍显寒碜。要想获得世界杯的入场券,重现02年的荣光,里皮和国足将士们仍然任重道远啊。
 
 
每次到小组赛最后阶段,都不乏对积分榜的分析,经常听到的分析是:国足最后一场打平即可出线。结果,打平即出线常常成为中国队身上的一个魔咒。
 
不过昍爸细思了一下,足球比赛和积分制度中确实存在许多数学问题,覆盖了加法和乘法原理、排列组合、二叉树、逻辑、博弈以及多面体等多个方面,在某些乏味的比赛过程中,球迷们(特别是小球迷)不妨可以烧烧脑。
 
比赛场次
 
亚洲区的世界杯预选赛,今年采用的是12强赛,分为两个小组,每小组6个队,主客场制,要想直接晋级世界杯,必须获得前两名。
 
问题1:每个队需要参加几场比赛?
 
这个问题太简单,作为预热。每个队要和其它5个队比赛两次,因此每个队一共要参加10场比赛。也就是说,国足只剩下4场比赛了。
 
问题2:每个小组一共进行多少场比赛?
 
这是一个稍复杂一点的计数问题,可以有不同的计算方法。
方法一:由于存在主客场,因此这是一个简单的排列问题,即任意6个队伍中选两个排列,为P(6,2)=30场。
方法二:按每个队参加的比赛场次来计算。每个队参加10场比赛,6个队一共是60场比赛。但是,由于每场比赛两个队参加,因此重复计算了一次,所以是60/2=30场比赛。
方法三:按照每个国家主场举办的比赛来计算。每个国家举办5场比赛,一共6个国家,共进行5×6=30场比赛。
 
而一般世界杯正赛有32支队伍,小组赛采用的是单循环赛,无主客场,每个小组4个队,一共8个小组。
 
问题3:世界杯正赛的每个小组一共要进行多少场比赛?
 
在非主客场的情况下,这是一个组合问题,即4支队伍中任选2支,一共需C(4, 2)=6场比赛。
或者也可以这么考虑,由于每个队参加3场比赛,4个队一共参加12场比赛,但同样一场比赛两个队参加,重复计算一次,因此一共是12/2=6场比赛。
 
之前看到昍的作业,里面经常有这样的题:6个点,两两之间连线,一共可以连多少条线。这正是足球比赛计数问题的图形化表达。
 
问题4:世界杯获得冠军的球队参加了多少场比赛?
 
冠军队伍小组赛参加3场比赛,之后进入淘汰赛。要想获得冠军,必须一路过关斩将,依次参加16进8、8进4、半决赛(4进2)和决赛(2进1),即需进行4场淘汰赛,所以一共参加7场比赛。
 
问题5:世界杯主办国整个世界杯一共需要举办多少场比赛?
 
这个计数问题小复杂一点,是乘法原理、加法原理和二叉树的综合应用。
小组赛:每个小组举办6场比赛,8个小组一共举办6×8=48场比赛。
淘汰赛:这个阶段的比赛可以图示为一个5层的完全二叉树,叶子节点有16个,每产生一个非叶子节点都要进行一场比赛,一共需要15场比赛,再加上3-4名比赛,一共是16场。
总计:根据加法原理,整个主办国需要进行48+16=64场比赛。
 
足球比赛中的计分
 
和篮球比赛每场都分出胜负不同,足球比赛的小组赛中存在胜、平、负三种情况,胜得3分、平得1分、负得0分。
 
问题6:以世界杯小组赛为例,小组各队积分总和最大是多少?最小是多少?
 
这个问题留给读者思考!
 
中国队所在小组目前的积分榜中,中国距离第1名伊朗差9分,距离第2名韩国还差5分。剩下跟伊朗、叙利亚、乌兹别克、卡塔尔四场比赛,其中有三个客场。虽然中国对韩国的胜利让人振奋,但冷静下来分析一下,就知道现实是多么残酷。
问题7:中国队最现实的目标是什么?
 
最理想的情况,中国队赢韩国后一扫阴霾,一路高歌赢下其余4场比赛,得分可以达到5+3×4=17分。但是,这依然无法保证中国队直接出线!
 
首先看小组第一伊朗队,如果中国队获得全胜战绩,那么伊朗队剩下4场比赛最好情况是获得3场胜利,积分将达到23分。较差情况,伊朗队后面四场只胜一场,其余全输,也将达到17分。当然,如果在中国胜了伊朗两队同积17分的前提下,中国将因为对伊朗队战绩占优而力压伊朗队。因此,伊朗至少需要18分才能保证力压中国。当然,这对于伊朗并非难事,而中国要4战全胜也几无可能。因此,超越伊朗只存在理论上的可能性。
 
退而求其次,把目标锁定小组第二如何?由于韩国队和中国队在剩余赛程里没有直接对阵。韩国队获得三场胜利将力压中国。而如果韩国两胜一平,中国全胜,则将与中国队同为17分。此时,由于中韩相互比赛的积分、净胜球数和进球数都相同,需要看整个小组赛的净胜球数。而如果中国队剩余比赛无法全取3分,若3胜1平,那么积分将是15分,这样韩国队只要获得两场胜利就可力压中国。当然,大概率情况,中国队还会输球,那么积分无法超过14分,此时韩国队的压力就更小。
由此看来,超越韩国有可能,但难度比较大。只能说如果自身够硬,那么可以对韩国队持续保持压力。
 
再把目标往下降,瞄准第三名,争取参加附加赛,这可能是国足目前最现实的努力目标。无论是跟乌兹别克还是叙利亚,中国都有一次直接对话的机会,如果保持对这两个队全胜,那么获得第三名的概率将非常大。但是,一旦输给这两个队中的一个,那获得第三名也基本会变成水中月镜中花了。
 
足球比赛中的逻辑问题
 
由于足球比赛积分规则的特殊性,在小组赛时经常会出现积分相同的情况。以世界杯小组赛为例,4个队6场比赛之后出现小组积分相同的几率是很大的。
 
问题8:世界杯小组赛最少获得多少分能确保小组出线?
 
答案是7分。不少人认为赢两场可以出线,实际上积6分无法保证小组出线。比如A、B、C、D四只队,A、B、C均胜D,而A胜B、B胜C、C胜A,那么A、B、C同积6分,此时要通过附加规则来确定哪两队出线。
 
问题9:5分和6分哪个出线可能性大?
 
这个问题的难度直线上升,是一道非常好的逻辑分析题。直觉肯定认为6分出线概率大,但实际上,两者的出线概率是一样的。
 
首先,积5分只有一种可能,获得一胜两平,这种情况要不出线只有一种可能。
 
先看被你战胜的队,只有胜两场才能超过你。这样和你打平的对手就是1平1负,不可能超过5分了,所以你确保出线。
 
再看和你打平的对手,也只有胜两场积分才能超过你,而两支和你打平的球队不可能同时两胜,他们之间只要分出胜负,那么必定有一个队积分无法超过4分。
 
如果和你打平的两支球队都战胜了输给你的球队,并且两者之间打平了,这样三个队都是1胜2平积5分,不能确保出线。这种情况与三支球队同积6分一样,只是两两之间由互有胜负变成了两两打平。
 
问题10:世界杯小组赛最少获得多少分可能出线?
 
这个问题也留给读者吧。
 
当然,足球比赛的积分规则中经常有一些漏洞,导致了最后一轮奇怪现象的产生。例如甲A历史上的输球保级,最后一轮假球事件等。实际上,各个队只是基于既定规则进行博弈,以获得最有利于自身的结果。真正应该反思的是规则制定者,他们或许该好好提升一下自己的数学素养才行。
 
足球本身是一个多面体,里面的黑皮(五边形)和白皮(六边形)各有多少块?一共有多少条棱?有兴趣的不妨数数。
真球迷们看完后肯定会历数世界杯史上出现过上述这些情况的案例,有兴趣的读者可以留言把你们知道的案例补充进来!
 
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昍爸

昍爸

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昍爸,曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖,江苏赛区第一名,高考数学满分,现在大学计算机专业任教,平时注重提升孩子对数学的自我思考与应用能力。此公众号将伴随昍昍的成长,分享寓教于乐、学以致用的数学教育方式。微信公号:昍爸说奥数(xuanbamath)。

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