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在数学中最令我欣喜的,是那些能够被证明的东西。——罗素
卫冕冠军输了
世界杯鏖战正酣,一大早起来,就看到了德国爆冷输给墨西哥的消息,再次面临卫冕冠军小组出局的魔咒。昨晚下注德国输球的球迷今天可以着实高兴一回了。
 
每次世界杯,看球之余,足球彩票也是人们津津乐道的话题之一。既然是赌,很多人都会选择赔率高的,比如昨晚押德国输,那收益率是相当可观的。当然,一般认为德国输球的概率很小,投注血本无归的可能性也很高,所以一般人还不至于冒险把身家都押上。
 
很多年前看球时也曾琢磨过一个问题,有没有一种投注方法,使得比赛结果不论如何,自己都不赔呢?一般来说,这种情况是不存在的,除非庄家数学没学好。当然,有一种下注的办法可以保证金钱和精神至少有一样不亏:如果你是A队的球迷,那么A vs B时,可以下注A队输球,这样,A队赢了,作为球迷很高兴,而A队输了,那么至少还有金钱的收益可以安慰一下受伤的心灵。
 
关于足球比赛,之前也写过一篇文章《献给足球迷和数学爱好者》,适合小学生读。
 
假如有猪一样的庄家
 
我们来看看数学没学好的猪一样的庄家会是什么样子。假如某个庄家开出了一个“A胜 1.50,打平 6.50,  B胜 13.00”的盘,那假设手头有455元可以用于投注,可以这么干:
 
A胜:下注338元
平:下注78元
B胜:下注39元
 
在这一投注下,无论是哪种比赛结果,都可以得到507元(338×1.5或78×6.5或39×13),赚52元。这么无本万利的事情,为什么不做呢?
 
为什么会有这样的好事?这是因为1/1.5+1/6.5+1/13≈0.897<1。
 
更一般地,假设胜、平、负的赔率分别为a, b, c, 且1/a+1/b+1/c<1,那么随便选一个数X,在胜、平、负盘分别投注X/a, X/b, X/c,一共投注的资金为X(1/a+1/b+1/c),最后无论什么结果,得到的总是X,而由于X(1/a+1/b+1/c)
 
为了从这个猪一样的庄家上赚更多的钱,你应该让X尽可能大,例如从银行借个“小目标”,反正第二天就能还。
 
真正的庄家
 
当然,如果你要真希望找到一个这样猪一样的庄家,那估计要失望了。我特意找了即将开始的比赛的欧赔的赔注。以瑞典vs韩国为例,1/2.05+1/3.2+1/3.8≈1.063。后面的几场大致也是在1.06-1.07左右。所以,如果你想按照刚才的方法投注,小亏是必然的了。
 
如果你遇上这么一个数学还可以的庄家,他开出赔率满足:1/a+1/b+1/c>1,那么,有没有一种投注方法能保证稳赚不赔呢?答案肯定是否定的,否则足球博彩就不可能存在了。
 
为什么呢?我们可以对此给出证明。假设我们在胜平负的投注分别为x, y, z元,那么总投入:x+y+z元。胜、平、负时的收益分别为:
xa-(x+y+z) 
yb-(x+y+z)
zc-(x+y+z)
 
要保证无论胜平负都至少不赔,则应满足:
xa-(x+y+z)≥0
yb-(x+y+z)≥0
zc-(x+y+z)≥0
 
将上面三式稍作变换得:
(x+y+z)/a≤x
(x+y+z)/b≤y
(x+y+z)/c≤z
 
将上面的三式相加得:
(x+y+z)(1/a+1/b+1/c)≤x+y+z
 
由于1/a+1/b+1/c>1,仅当投资额x+y+z=0,也就是一分钱不投时才能确保无论比赛结果如何,都不亏。
 
当然,实际过程中,庄家的操作要复杂的多。一方面,需要根据队伍的相对实力来设置初始的赔率;另一方面,庄家会动态地调整赔率,调整赔率一方面会吸引投注资金的流向,另一方面是为了保证胜平负三个收益的平衡,这样导致无论出现什么比赛结果他都能稳赚。但不管怎样调整赔率,他一定要保证1/a+1/b+1/c>1,否则就会出现前面的情况。
 
成文于6月18日
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昍爸

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昍爸,曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖,江苏赛区第一名,高考数学满分,现在大学计算机专业任教,平时注重提升孩子对数学的自我思考与应用能力。此公众号将伴随昍昍的成长,分享寓教于乐、学以致用的数学教育方式。微信公号:昍爸说奥数(xuanbamath)。

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